微积分概要¶
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说明：这份资料本质上是对结论的总结，供快速阅览和查找用。不适合任何形式的高等数学考试。
1. 极限与导数¶
Stolz定理¶
若数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足：
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n = \infty\) 且 \(\{b_n\}\) 严格单调递增
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n = \infty\)
或者满足：
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n = 0\) 且 \(\{b_n\}\) 严格单调递减
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n = 0\)
则：
\[ \lim_{n\to\infty} = \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L\quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} = \frac{a_n}{b_n} \]
相当于是离散版本的L' Hospital定理。
一阶导数的传递性质¶
\[ \dv{y}{x} = \dv{y}{u}\dv{u}{x} \qc \dv{x}{y} = \frac{1}{\dv{y}{x}} \]
一阶导数可以类似于商进行传递，但二阶导数不行。
高阶导数（Leibniz 公式）¶
\[ (f(x)g(x))^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \mqty(k\\n) f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x) \]
2. 单变量积分¶
分部积分¶
\[ \int u\dd v = vu - \int v \dd u \]
幂函数的Taylor展开¶
\[ (1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \mqty(\alpha\\k)x^k \]
常结合柯西乘积：
\[ \pqty{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}\pqty{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n} = \sum_{n=0}^{\infty}\pqty{\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}}x^n \]
3. 多变量积分¶
偏导的可交换性¶
\[ \pdv[2]{f}{x}{y} = \pdv[2]{f}{y}{x} \]
梯度，散度，旋度¶
\[ \begin{gathered} \grad f(x,y,z) = \pqty{\pdv{f}{x} , \pdv{f}{y}, \pdv{f}{z}} \\ \div \vb f(x,y,z) = \pdv{f_x}{x} + \pdv{f_y}{y}+ \pdv{f_z}{z}\\ \curl \vb f(x,y,z) = \mqty|i&j&k\\\pdv{x}&\pdv{y}&\pdv{z}\\f_x&f_y&f_z| \end{gathered} \]
二阶Taylor展开¶
\[ f(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\pqty{\Delta x\pdv{x}+\Delta y\pdv{y}}^n f(x_0,y_0) \]
隐函数问题¶
对于写成隐函数 \(F(x,y) = 0\) 的函数 \(y = f(x)\) 求导有：
\[ f'(x) = -\frac{\partial_xF(x,y)}{\partial_yF(x,y)} \]
其中，隐函数存在的条件是 \(\partial_y F(x,y) \neq 0\) 。
如果对于方程组：
\[ \begin{cases} F_1(x,u,v) = 0 \\ F_2(x,u,v) = 0 \end{cases} \]
则需要分别求偏导得到：
\[ \begin{cases} \pdv{F_1}{x} + \pdv{F_1}{u}u'(x) + \pdv{F_1}{v}v'(x) = 0 \\ \pdv{F_2}{x} + \pdv{F_2}{u}u'(x) + \pdv{F_2}{v}v'(x) = 0 \\ \end{cases} \]
其中，隐函数存在的条件是 Jacobi 行列式：
\[ J = \frac{D(F,G)}{D(u,v)} = \mqty|\partial_u F_1(u,v) & \partial_v F_1(u,v) \\ \partial_u F_2(u,v) & \partial_v F_2(u,v)| \neq 0 \]
极值问题¶
令
\[ A = \pdv[2]{f}{x} \qc B = \pdv[2]{f}{x}{y} \qc C =\pdv[2]{f}{y} \]
那么对函数 \(f(x,y)\) :
- 一阶必要性：
\[ \pdv{f}{x} = \pdv{f}{y} =0 \]
- 二阶充分性：对于判别式 \(B^2 - AC\) 有
- 如果 \(B^2 - AC < 0\) :
- \(A>0\) 为极小值点；
- \(A>0\) 为极大值点；
- 如果 \(B^2 - AC> 0\) ，为非极值点的鞍点
- 如果 \(B^2 - AC = 0\) 则需要进一步判断。
如果有限制条件 \(\varphi(x,y) = 0\) ，则构建函数 \(F(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)\) 求稳定点。
4. 级数¶
一般级数的判别法¶
判断 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n $的收敛性：
| Dirichlet 判别法 | Abel 判别法 | |
|---|---|---|
| \(\{a_n\}\) 满足 | \(a_n \to 0\) 且单调 | \(a_n\) 有界且单调 |
| \(\{b_n\}\) 满足 | \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) 部分和有界 | \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) 收敛 |
| 结论 | $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n $ 收敛 | $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n $ 收敛 |
同样对于函数项级数：
| Dirichlet 判别法 | Abel 判别法 | |
|---|---|---|
| \(\{a_n(x)\}\) 满足 | \(a_n(x) \rightrightarrows 0\) 且关于 \(n\) 单调 | \(a_n(x)\) 一致有界且关于 \(n\) 单调 |
| \(\{b_n(x)\}\) 满足 | \(\sum_{n=1}^\infty b_n(x)\) 部分和一致有界 | \(\sum_{n=1}^\infty b_n(x)\) 一致收敛 |
| 结论 | $\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x) $ 一致收敛 | $\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x) $ 一致收敛 |
Abel 变换¶
\[ \sum_{k=1}^n a_kb_k = \sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1})B_k + a_nB_n \qc B_k = \sum_{l=1}^k b_l \]
某种意义上的“分部求和”（Summation by parts）。
离散傅里叶展开¶
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) \]
其中：
\[ \begin{cases} a_n = \frac1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \dd x \\ b_n = \frac1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \dd x \end{cases} \]
对于一个以 \(2\pi\) 为周期的函数 \(f(x)\)，傅里叶级数满足：
\[ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\dd x \]
5. 多重积分¶
Gauss 矩公式¶
\[ \begin{gathered} \int_0^\infty e^{-x^2}\dd x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \int_0^\infty x^ne^{-x^2}\dd x = \frac12\Gamma\pqty{\frac{n+1}{2}} = \begin{cases} \frac{(2k)!}{2\cdot4^{k}k!}\sqrt{\pi}, &n=2k \\ \frac{k!}{2}, &n=2k + 1 \end{cases} \end{gathered} \]
Cauchy-Schwarz 不等式¶
\[ \pqty{\int_a^b f(x)g(x)\dd x}^2 \leq \int_a^b f^2(x)\dd x\int_a^b g^2(x)\dd x \]
多重积分换元¶
\[ \dd x \dd y \dd w = \abs{\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}}\dd u \dd v \dd w \]
6. 路径积分¶
曲线积分¶
- 第一类曲线积分
\[ \int_L f(x,y) \dd s = \int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+y'(x)^2} \dd x \]
- 第二类曲线积分
\[ \int_L \vb F(x,y) \cdot \dd{\vb r} = \int_a^b \bqty{P(x,y) + Q(x,y)y'(x)}\dd x \]
曲面积分¶
- 第一类曲面积分
\[ \iint_S f(x,y,z)\cdot \dd S = \iint_D f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+(g'_x)^2+(g'_y)^2} \dd x \dd y \]
- 第二类曲面积分
\[ \begin{aligned} \iint_S \vb F(x,y,z)\cdot \dd{\vb S} &= \iint_S \vb F(x,y,z)\cdot\vb n(x,y,z) \dd S \\ &= \iint_S (P\cos(\vb n,x) + Q\cos(\vb n,y) + R\cos(\vb n,z))\dd S\\ &= \iint_S P\dd y \dd z + Q \dd z \dd x + R \dd x \dd y \end{aligned} \]
可转化成第一类：
\[ \begin{aligned} \iint_S \vb F(x,y,z)\cdot\vb n(x,y,z) \dd S &= \pm\iint_S \frac{1}{\sqrt{1+(g'_x)^2+(g'_y)^2}}(P(-g_x') + Q(-g_y') + R)\dd S \\ &= \pm \iint_D (P(-g_x') + Q(-g_y') + R)\dd x \dd y \end{aligned} \]
Green 公式¶
-
二维情况
-
函数 \(P\) 和 \(Q\) 在区域 \(D\) 内没一点都有定义且有连续偏导数；
-
\(D\) 为有界闭区域。
\[ \oint_{L^+} P\dd x + Q\dd y = \iint_D \pqty{\pdv{Q}{x} - \pdv{P}{y}} \dd x \dd y \]
用单位外法向量 \(\vb n\) 来表示课得到散度定理：
\[ \oint_{L^+} (P,Q)\cdot \vb nds = \iint_D \pqty{\pdv{Q}{x} + \pdv{P}{y}} \dd x \dd y = \iint_D \pqty{\div\vb F} \dd x \dd y \]
- 三维情况
\[ \begin{gathered} \iint_S P\dd y \dd z + Q \dd z \dd x + R \dd x \dd y = \iiint_\Omega \pqty{\pdv{P}{x} + \pdv{Q}{y} + \pdv{R}{z}} \dd V \\ \iint_S (\vb F \cdot \vb n)\dd S = \iiint_\Omega (\div\vb F) \dd V \end{gathered} \]
Stokes 公式¶
\[ \begin{gathered} \oint_L P\dd x + Q\dd y + R\dd z = \iint_S \mqty|\dd y \dd z & \dd z \dd x & \dd x \dd y \\ \pdv{x} & \pdv{y} & \pdv{z} \\ P&Q&R| \\ \oint_L \vb F \dd{\vb r}=\iint_S(\curl\vb F)\cdot \vb n \dd S \end{gathered} \]
7. 无穷积分 瑕积分¶
收敛判别¶
| Dirichlet 判别法 | Abel 判别法 | |
|---|---|---|
| \(a(x)\) 满足 | \(\lim_{x\to\infty} a(x)=0\) 且单调 | \(a(x)\) 有界且单调 |
| \(b(x)\) 满足 | \(\int_1^Xb(x)\dd x\) 部分积分有界 | \(\int_1^{+\infty}b(x)\dd x\) 收敛 |
| 结论 | \(\int_1^{+\infty}a(x)b(x)\dd x\) 收敛 | \(\int_1^{+\infty}a(x)b(x)\dd x\) 收敛 |
8. 常微分方程¶
Wronski 行列式¶
\[ W(x) = \mqty|\varphi_1(x) & \varphi_2(x) \\ \varphi'_1(x) & \varphi_2'(x)| \]
对于一个通解 \(C_1\varphi_1(x) + C_2\varphi_2(x)\)，则 \(\varphi_1(x)\) 和 \(\varphi_2(x)\) 线性无关的充分条件是区间上存在一点 \(W(x) \neq 0\) （可证明一点非零则区间上均非零）。
二阶常数变易法¶
对二阶齐次方程有特解 \(y(x) = C_1(x)\varphi_1(1)\)，一般设：
\[ \begin{cases} C_1'(x)\varphi_1(x) + C_2'(x)\varphi_2(x) = 0 \\ C_1'(x)\varphi'_1(x) + C_2'(x)\varphi'_2(x) = f(x) \end{cases} \]
Bernoulli方程¶
\[ y' + P(x)y = Q(x)y^{\alpha} \]
一般换元 \(z = y^{1-\alpha}\)，之后有：
\[ z' = (1-\alpha)\frac{y'}{y^\alpha} = (1-\alpha)\pqty{Q(x) - P(x)z} \]
之后按一阶方法求解。